Giải phương trình \(5\left( {\sin x + \frac{{\sin...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Công thức hạ bậc 3 của sin và cos : \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\\\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\end{array} \right.\)

+) Phân tích mẫu thành nhân tử chứa trong tử.

+) Giải hàm lượng giác cơ bản : \(\cos x = \cos a \Leftrightarrow x =  \pm a + k2\pi \)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\sin 2x \ne  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x \ne \frac{{7\pi }}{6} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x \ne \frac{{7\pi }}{{12}} + m\pi \end{array} \right.\;\left( {k,\;m \in Z} \right)\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;5\left( {\sin x + \frac{{\sin 3x + \cos 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\\ \Leftrightarrow 5\left( {\sin x + \frac{{3\sin x - 4{{\sin }^3}x + 4{{\cos }^3}x - 3\cos x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\\ \Leftrightarrow 5\left( {\sin x + \frac{{4\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right) + 3\left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\\ \Leftrightarrow 5\left( {\sin x + \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + 4\sin x\cos x} \right)}}{{1 + 4\sin x\cos x}}} \right) = \cos 2x + 3\\ \Leftrightarrow 5\left( {\sin x + \cos x - \sin x} \right) = 2{\cos ^2}x - 1 + 3\\ \Leftrightarrow 5\cos x = 2{\cos ^2}x + 2\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = 2\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \;\;\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn  A