Chứng minh rằng với n > 1, n thuộc N* thì...

Câu hỏi: Chứng minh rằng với n > 1, n thuộc N* thì: $\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} > \frac{1}{n^{2}} > \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = \frac{n - n + 1}{(n - 1) n} = \frac{1}{n^{2} - n}$ . Do $n^{2} - n < n^{2} \Rightarrow \frac{1}{n^{2} - n} > \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} > \frac{1}{n^{2}}$

Tương tự $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{(n + 1) n} = \frac{1}{n^{2} + n}$ . Do $n^{2} + n > n^{2} \Rightarrow \frac{1}{n^{2} + n} < \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n^{2}}$