Cho phương trình: \({x^2} + x + m - 1 = 0\), với g...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm  \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\)

-          Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia tức là:  \({x_1} = 2{x_2}\)

-          Áp dụng hệ thức Vi-et để giải tìm giá trị của m.

-          Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Để phương trình: \({x^2} + x + m - 1 = 0\) có nghiệm thì :

\(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{5}{4}.\)

Với \(m \le \frac{5}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1}\) và  \({x_2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 1\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có: \({x_1} = 2{x_2}\), thay vào (1) ta có:  \(2{x_2} + {x_2} =  - 1 \Leftrightarrow {x_2} =  - \frac{1}{3} \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - 2}}{3}\)

Thay  vào (2) ta có:  \(\frac{{ - 1}}{3}.\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = m - 1 \Leftrightarrow m = \frac{{11}}{9}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy với \(m = \frac{{ 11}}{9}\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Chọn D.