Cho hình vuông ABCD có độ cạnh là  ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Theo giả thiết: EB = 2x (cm), x > 0 Ta có: AE = AB – EB = y - 2x (cm) AG = \(AD+\frac{3}{2}EB=y+\frac{3}{2}.2x=y+3x\) (cm) Diện tích hình chữ nhật GAEF:

\({{S}_{GAEF}}=AE.AG=\left( y-2x \right)\left( y+3x \right)\)  (cm²)

Diện tích hình vuông ABCD:

\({{S}_{ABCD}}={{y}^{2}}\) (cm²)

Theo đề bài, diện tích của hình chữ nhật GAEF

bằng diện tích hình vuông ABCD, nên ta có:

\(\left( y-2x \right)\left( y+3x \right)={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3xy-2xy-6{{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow xy-6{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x\left( y-6x \right)=0\)

Vì x > 0 nên \(x\left( y-6x \right)=0\Leftrightarrow y-6x=0\Leftrightarrow y=6x\)  (1) Do: AB // CD (ABCD là hình vuông) mà FE \(\bot \)AB (GAEF là hình chữ nhật) \(\Rightarrow \)\(EF\bot DC\)tại I. Ta có: AG = AD + DG  mà  AG = AD + \(\frac{3}{2}EB\)  \(\Rightarrow DG=\frac{3}{2}EB=\frac{3}{2}.2x=3x\left( cm \right)\) Tứ giác EBCI và DGFI là hình chữ nhật (vì mỗi tứ giác có 3 góc vuông).

\(\Rightarrow EB=IC=2x\) (cm) và  DG = IF =3x (cm)

Xét tam giác vuông FIC, ta có: \(FC=\sqrt{I{{C}^{2}}+I{{F}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+9{{x}^{2}}}=x\sqrt{13}\) (định lý Pitago) Chu vi của ngũ giác ABCFG là:

\(3y+x\sqrt{13}+\left( y-2x \right)+3x=x\left( 1+\sqrt{13} \right)+4y\)

Theo đề bài ta có phương trình:

\(x\left( 1+\sqrt{13} \right)+4y=100+4\sqrt{13}\)  (2)

Thế  (1) vào (2), ta được:

\(x\left( 1+\sqrt{13} \right)+4.6x=100+4\sqrt{13}\Leftrightarrow x\left( 1+\sqrt{13}+24 \right)=100+4\sqrt{13}\Leftrightarrow x=\frac{100+4\sqrt{13}}{25+\sqrt{13}}=4\)

Thế x = 4 vào (1), ta được: \(y=6.4=24\)

Vậy: x = 4cm, y = 24cm.