Cho \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\) Gọi \(Q...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc hai ẩn \(x\)và tham số \(y\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm suy ra GTNN và GTLN của \(y\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có : \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\Leftrightarrow y\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left( y-1 \right){{x}^{2}}-5yx+7y=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(y\) thỏa mãn \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(y=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-5x+7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}.\)

Trường hợp 2. \(y\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {5y} \right)^2} - 4.\left( {y - 1} \right).\left( {7y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 25{y^2} - 4\left( {7{y^2} - 7y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{y^2} + 28y \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 28y \le 0 \Leftrightarrow y\left( {3y - 28} \right) \le 0 \Leftrightarrow y\left( {y - \frac{{28}}{3}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le \frac{{28}}{3}.\end{array}\)

Với \(y=0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 0-1 \right){{x}^{2}}-5.0.x+7.0=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0.\)

Với \(y=\frac{28}{3}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( \frac{28}{3}-1 \right){{x}^{2}}-5.\frac{28}{3}.x+7.\frac{28}{3}=0\Leftrightarrow \frac{25}{3}{{x}^{2}}-\frac{140}{3}x+\frac{196}{3}=0\Leftrightarrow {{\left( 5x-14 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{14}{5}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(y\)  là \(\frac{28}{3}\) đạt được tại \(x=\frac{14}{5}\) giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(0\) đạt được tại \(x=0.\)

Chọn đáp án A.