Nghiệm của phương trình \({{1 - \tan x} \over {1 +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Biến đổi, đưa phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc ba.

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{3}}x\).

- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

Giải chi tiết:

ĐK:  \(\left\{ \matrix{\cos x \ne 0 \hfill \cr \tan x \ne - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ne {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x \ne - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(\eqalign{ & {{1 - \tan x} \over {1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x \Leftrightarrow {{1 - {{\sin x} \over {\cos x}}} \over {1 + {{\sin x} \over {\cos x}}}} = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x \cr & \Leftrightarrow {{\cos x - \sin x} \over {\cos x + \sin x}} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \Leftrightarrow \cos x - \sin x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} \cr} \)

\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\eqalign{ & \cos x - \sin x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {{\sin x} \over {\cos x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\left( {{{\sin x} \over {\cos x}} + 1} \right)^3} \cr & \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = {\left( {\tan x + 1} \right)^3} \cr & \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \tan x - {\tan ^3}x = {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 \cr & \Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x + 4\tan x = 0 \cr} \)

Đặt \(\tan x=t\) khi đó ta được:

\(2{t^3} + 2{t^2} + 4t = 0 \Leftrightarrow t\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) (Vì \({t^2} + t + 2 > 0\,\,\forall t\)) \( \Rightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Chọn C.