Để tính nguyên hàm \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cách 1: \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} \) 

Đặt \(x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt = \left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt\) 

\(\begin{array}{l}I = \int {\dfrac{{{{\tan }^3}t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^3}}}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt} \\\,\,\, = \int {\dfrac{{{{\tan }^3}t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dt\\\,\,\,\, = \int {\dfrac{{\tan t\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right) - \tan t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dt\\\,\,\,\, = \int {\dfrac{{\tan t}}{{{{\tan }^2}t + 1}}} dt - \int {\dfrac{{\tan t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dt\\\,\,\,\, = {I_1} + {I_2}\end{array}\)

\({I_1} = \int {{{\tan t} \over {{{\tan }^2}t + 1}}} dt\)

Đặt \({\tan ^2}t + 1 = a \Rightarrow 2{\mathop{\rm tant}\nolimits} \left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt = da\) \( \Rightarrow {\mathop{\rm tantdt}\nolimits}  = \frac{{da}}{{2\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}} = \dfrac{{da}}{{2a}}\)

\(\begin{array}{l}
{I_1} = \int {\dfrac{{da}}{{2{a^2}}}} = \dfrac{{ - 1}}{{2a}} + C = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}} + C\\
{I_2} = \int {\dfrac{{\tan t}}{{{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}}} dx
\end{array}\)

Đặt

\(\eqalign{ & {\tan ^2}t + 1 = a \Rightarrow 2\tan t{{dt} \over {{{\cos }^2}t}} = da \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm tant}\nolimits} \left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt = da \cr & \Rightarrow {\mathop{\rm tantdt}\nolimits} = {{da} \over {2\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}} = {{da} \over {2a}} \cr} \)

\({I_2} = {1 \over 2}\int {{{da} \over {{a^3}}}}  = {1 \over 2}{{ - 1} \over {2{a^2}}} + C =  - {1 \over {4{a^2}}} + C = {{ - 1} \over {4{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}^2}}} + C\)

Cách 2:  \(I = \int {{{{x^3}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} \)

Đặt \({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = {{dt} \over 2}\)

\(\begin{array}{l}
I = \int {\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}dx} = \int {\dfrac{{x\left( {{x^2} + 1} \right) - x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}} dx\\
\,\,\, = \int {\dfrac{x}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx - \int {\dfrac{x}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}} dx\\
\,\,\, = \int {\dfrac{{dt}}{{2{t^2}}} - \int {\dfrac{{dt}}{{2{t^3}}}} } = \dfrac{{ - 1}}{{2t}} + \dfrac{1}{{4{t^2}}} + C.
\end{array}\)

Vậy hai cách đặt trên đều được.

Chọn C.