Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a. Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

b. Dựa vào định lý Pi-ta-go để tìm mối liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\). Từ đó sử dụng hệ thức Vi-ét biến đổi phương trình để giải tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m = {m^2} + 1 > 0\) với mọi \(m\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

b. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là \({x_1},{x_2}\). Tìm giá trị của \(m\) để \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng \(\sqrt {12} \).

Ta có \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1) nên theo Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

\({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng \(\sqrt {12} \)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0;{x_2} > 0\\{x_1}^2 + {x_2}^2 = 12\end{array} \right.\)

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right) > 0\\2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Xét \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 12 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = 12\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m = 1\)

Chọn C.