Cho đường thẳng \(d:y = 2{\rm{x}} + {m^2} - 1\) và...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) d cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

b) Độ dài đoạn HK chính là hiệu hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Giải chi tiết:

a) Tìm m để d cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và \(\left( P \right)\) là : \(2x + {m^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)   

Để d cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B \( \Leftrightarrow \;\;\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {1^2} - \left( { - {m^2} + 1} \right) = {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\)

Vậy với \(m \ne 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài).

Ta có H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành

\( \Rightarrow \) Hoành độ của H và K bằng hoành độ lần lượt của A và B

Gọi \({x_1}\,,\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của (1) \( \Rightarrow \) Hoành độ của H và K bằng \({x_1}\,,\,\,{x_2} \Rightarrow H\left( {{x_1};\;0} \right),\;K\left( {{x_2};\;0} \right).\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right.\)

Để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2} = 9\\ \Leftrightarrow {2^2} - 4\left( { - {m^2} + 1} \right) = 9 \Leftrightarrow 4 + 4{m^2} - 4 = 9\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 9 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy vơi \(m =  \pm \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.