Chứng minh rằng \(2HD.AB = DA.BC\).

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh BD là phân giác \(\angle HBA\), từ đó áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

Giải chi tiết:

Có D nằm trên đường trung trực của BC (D nằm trên OA)

Suy ra \(BD = BC\) (tính chất đường trung trực), suy ra cung BD bằng cung DC (hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau)

Xet  đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có:

+) \(\angle CBD\) là góc nội tiếp chắn cung DC

+) \(\angle DBA\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD

+) Cung BD và cung DC bằng nhau (cmt)

\( \Rightarrow \angle CBD = \angle DBA \Rightarrow BD\)là phân giác \(\angle HBA\)

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác HBA có:  \(\frac{{HD}}{{DA}} = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow HD.AB = DA.BH\)

Mà có: \(BH = \frac{1}{2}BC\) (do H là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow HD.AB = DA.\frac{{BC}}{2} \Leftrightarrow 2HD.AB = DA.BC\) (đpcm)