Cho \(x,y,z\) là ba số thỏa mãn điều kiện: \(4{x^2...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức về dạng \({A^2} + {B^2} + {C^2} = 0 \Leftrightarrow A = B = C = 0\), sau đó tìm giá trị của \(x,\,y,\,z\) thay vào biểu thức \(S\)  để tính.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;4{x^2} + 2{y^2} + 2{{\rm{z}}^2} - 4xy - 4{\rm{xz}} + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} - 4xy + {y^2} + 2yz + {z^2} - 4xz} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + \left( {{z^2} - 10z + 25} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - y - z} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 0\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2{\rm{x}} - y - z} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\\{\left( {z - 5} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {2x - y - z} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} \ge 0\,\forall x,\,y,\,z\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 0\\y - 3 = 0\\z - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 5\end{array} \right.\)

Thay \(x = 4,\,y = 3,\,z = 5\) vào \(S\)  ta có:

\(S = {\left( {x - 4} \right)^{2017}} + {\left( {y - 4} \right)^{2017}} + {\left( {z - 4} \right)^{2017}} = {\left( {4 - 4} \right)^{2017}} + {\left( {3 - 4} \right)^{2017}} + {\left( {5 - 4} \right)^{2017}} = {\left( { - 1} \right)^{2017}} + {1^{2017}} = 0\).

Chọn C.