Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Chứng minh tứ giác BADC có hai đỉnh A và D cùng nhìn BC dưới các góc bằng nhau.

2. Chứng minh hai góc ADB và BDN cùng bằng góc ACB.

3. Chứng minh M là trực tâm của tam giác PBC \(\Rightarrow PM\bot BC\)

Chứng minh \(MN\bot BC\), từ đó suy ra P, M, N thẳng hàng.

Giải chi tiết:

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

Ta có \(\widehat{MDC}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) \(\Rightarrow \widehat{BDC}={{90}^{0}}\).(Do B, M, D thẳng hàng)

Có \(\widehat{BAC}={{90}^{0}}\) (do giả thiết tam giác ABC vuông tại A)

Xét tứ giác BADC có \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}={{90}^{0}}\Rightarrow \) Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới góc 90⁰ \(\Rightarrow \) Tứ giác BADC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Do BADC là tứ giác nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ACB}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có \(\widehat{ACB}=\widehat{MCN}=\widehat{MDN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn đường kính MC).

\(\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{MDN}=\widehat{BDN}\Rightarrow BD\) là tia phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Ta có \(\widehat{BDC}={{90}^{0}}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow BD\bot DC\Rightarrow BD\bot PC\)

Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AC\bot AB\Rightarrow AC\bot PB\)

Xét tam giác PBC có \(BD\bot PC;\,\,AC\bot PB;\,\,AC\cap BD=M\Rightarrow M\) là trực tâm tam giác PBC.

\(\Rightarrow PM\bot BC\).

Lại có \(\widehat{MNC}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) \(\Rightarrow MN\bot NC\Rightarrow MN\bot BC\)

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng BC ta kẻ được \(PM\bot BC\) và \(MN\bot BC\)

\(\Rightarrow PM\equiv MN\) hay ba điểm P, M, N thẳng hàng.