Cho phương trình \({{x}^{2}}+5x+m=0\left( * \right...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)     Giải phương trình (*) với \(m=-3\) ta thay \(m=-3\) vào phương trình (*) sau đó giải phương trình bậc hai ta sử dụng biệt thức \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\) để tìm nghiệm

b)     +) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm: (*) có hai nghiệm khi vào chỉ khi \(\Delta \ge 0\)

+) Kết hợp hệ thức Vi-et với điều kiện đề bài để tìm m. Hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình \({{x}^{2}}+5x+m=0\left( * \right)\) (m là tham số )

a)     Giải phương trình (*) khi \(m=-3\)

Thay \(m=-3\) vào phương trình (*) ta có: \({{x}^{2}}+5x-3=0\)

Ta có: \(a=1;b=5;c=-3;\)

\(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}+12=37>0\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=\frac{-5-\sqrt{37}}{2} \\  & {{x}_{2}}=\frac{-5+\sqrt{37}}{2} \\ \end{align} \right.\)

Vậy khi \(m=-3\) thì phương trình (*)  có tập nghiệm là: \(S=\left\{ \frac{-5-\sqrt{37}}{2};\frac{-5+\sqrt{37}}{2} \right\}\)

b)    Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(9{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=18\,\,\,\left( 3 \right)\)

+) Phương trình (*) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\Leftrightarrow 25-4m\ge 0\Leftrightarrow m\le \frac{25}{4}\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\,\,\left( 1 \right) \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Kết hợp (1) và (3) ta được hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 5\\
9{x_1} + 2{x_2} = 18
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_1} + 2{x_2} = - 10\\
9{x_1} + 2{x_2} = 18
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 7{x_1} = - 28\\
{x_2} = - 5 - {x_1}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 4\\
{x_2} = - 9
\end{array} \right.\)

Thay \({{x}_{1}}=4;{{x}_{2}}=-9\) vào (2) ta được: \(4.\left( -9 \right)=m\Leftrightarrow m=-36\left( tm \right)\)

Vậy \(m=-36\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C