Cho ba số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski để chứng minh bất đẳng thức phụ sau: \(\frac{{{A^2}}}{a} + \frac{{{B^2}}}{b} + \frac{{{C^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\)

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski với bộ ba số \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right);\left( {\frac{A}{{\sqrt a }},\frac{B}{{\sqrt b }},\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)\) có:

\(\begin{array}{l}\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right).\left( {{{\left( {\frac{A}{{\sqrt a }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{B}{{\sqrt b }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)}^2}} \right) \ge {\left( {\sqrt a .\frac{A}{{\sqrt a }} + \sqrt b .\frac{B}{{\sqrt b }} + \sqrt c .\frac{C}{{\sqrt c }}} \right)^2} = {\left( {A + B + C} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{A^2}}}{a} + \frac{{{B^2}}}{b} + \frac{{{C^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y + z} \right) + \left( {z + x} \right) + \left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} = 1\)

Vậy ta có điều cần chứng minh.