Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 1 = 0\;\;\;\;\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(m =  - 2\) vào phương trình sau đó giải phương trình bậc hai một ẩn.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)  và biểu thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 1 = 0\;\;\;\;\left( * \right),\) trong đó \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình \(\left( * \right)\) khi \(m =  - 2.\)

Với \(m =  - 2\) ta có phương trình

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy với \(m =  - 2\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;\;1} \right\}.\)

b) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 2{x_2}.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow 1 - m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 2.\)

Với \(m < 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\;\;\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 1\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({x_1} = 2{x_2}.\)

Kết hợp với phương trình (1) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1} = 2{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1} - 2{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - \frac{4}{3}\\{x_2} =  - \frac{2}{3}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = m - 1 \Leftrightarrow \left( { - \frac{2}{3}} \right).\left( { - \frac{4}{3}} \right) = m - 1 \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{9}\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(m = \frac{{17}}{9}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.