Cho biểu thức \(M=\left( \frac{4x}{\sqrt{x}-1}-\f...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó quy đồng, rút gọn biểu thức.

2) Sau khi rút gọn biểu thức M: Cho M < 4 sau đó tìm x, đối chiếu với điều kiện để M có nghĩa và kết luận.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức \(M=\left( \frac{4x}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2} \right).\frac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}}\)  (với \(x>0;x\ne 1;x\ne 4\))

1) Rút gọn biểu thức M.

\(\begin{align}  & M=\left( \frac{4x}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2} \right).\frac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}} \\  & =\left( \frac{4x}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2} \right).\frac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}} \\  & =\left( \frac{4x}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)} \right).\frac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}} \\  & =\left( \frac{4x}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right).\frac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}} \\  & =\frac{4x-1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}}=\frac{4x-1}{{{x}^{2}}}. \\ \end{align}\)

2)Tìm các giá trị x để M < 4

\(M<4\Leftrightarrow \frac{4x-1}{{{x}^{2}}}<4\Leftrightarrow \frac{4x-1-4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}<0\Leftrightarrow \frac{-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}<0\Leftrightarrow x\ne \frac{1}{2},\forall x>0;x\ne 1;x\ne 4\)

Vậy với mọi \(x>0;x\ne \frac{1}{2},x\ne 1;x\ne 4\) thì \(M<4\)

Chọn A