Tìm tham số m để phương trình: \({x^2} - 2\left( {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Để phương trình có 2 nghiệm dương thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

b)      Chú ý khai triển bình phương đầu tiên và vận dụng phương trình ban đầu.

Giải chi tiết:

Tìm tham số m để phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} = 0\)

a)      Có 2 nghiệm phân biệt dương.

Ta có:

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm dương thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8m + 4 > 0\\2m + 1 > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{ - 1}}{2}\\m \ne 0\end{array} \right..\)

b)     Có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({\left( {{x_1} - m} \right)^2} + {x_2} = 3m.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - m} \right)^2} + {x_2} = 3m\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2} + {x_2} = 3m\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 2{x_1} + {m^2} + {x_2} = 3m\\ \Leftrightarrow x_1^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_1} + 2{x_1} + {m^2} + {x_2} = 3m\\ \Leftrightarrow  - {x_1}{x_2} + 2{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 3m\\ \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = 3m\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (3) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\2{x_1} + {x_2} = 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - 2\\{x_2} = m + 4\end{array} \right.\)

Thay vào (2) ta có : \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 4} \right) = {m^2} \Leftrightarrow 2m - 8 = 0 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\)  

Vậy \(m = 4\).