Tìm \(x,y\) nguyên dương thỏa mãn: \(16({x^3} - {y...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng đánh giá linh hoạt để chứng minh rằng \(VT > VP.\)

Giải chi tiết:

Vì \(x,\,\,y\)  nguyên dương nên \(VP > 0\)  do đó \(VT > 0\)  nên \(x > y.\)

Ta có:  \(15xy = 16({x^3} - {y^3}) - 371\)  là số lẻ nên \(x,\,\,y\)  đều lẻ, do vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\y \ge 1\end{array} \right..\)

Xét \(x = 3\)  thì  \(y = 1\)  thay vào phương trình thỏa mãn.

Xét \(x \ge 5\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}x - 2 \ge y \Rightarrow 16\left( {{x^3} - {y^3}} \right) \ge 16\left[ {{x^3} - {{(x - 2)}^3}} \right] = 16\left( {6{x^2} - 12x + 8} \right)\\15xy + 371 \le 15x\left( {x - 2} \right) + 371 = 15{x^2} - 30x + 371\\16\left( {6{x^2} - 12x + 8} \right) - \left( {15{x^2} - 30x + 371} \right) = 81{x^2} - 162x - 243 = 81\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\end{array}\)

Ta có : \({x^2} - 2x - 3 > 0,\,\,\forall x \ge 5 \Rightarrow 16\left( {{x^3} - {y^3}} \right) > 15xy + 371\)

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên dương duy nhất : \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,1} \right).\)

Chọn D.