Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

b) +) Xác định góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

    +) Sử dụng phương pháp đổi điểm tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HE//AD//BC\,\,\left( {E \in CD} \right) \Rightarrow HE \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot HE\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow CD \bot SE\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SE \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HE \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SE;HE} \right) = \angle SEH = {45^0}\)

Trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(SK \bot SE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot CD\\HK \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HE}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HE = \dfrac{3}{4}AD = \dfrac{3}{4}.4a = 3a\)

\( \Rightarrow HK = HE.\sin 45 = 3a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

\(AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HK\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HK = \dfrac{4}{3}\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2} = 2a\sqrt 2 \).