Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để xác định chiều cao của hình lăng trụ đứng qua dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng (công thức tính cosin góc giữa hai mặt phẳng)

Giải chi tiết:

Đặt \(A{A}'=x\) và chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,{A}'\left( 0;0;x \right)\)

Và \(B\left( \sqrt{3};0;0 \right),\,\,C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)\) vì \(AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}\) (chuẩn hóa \(a=1\)).

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align}  {B}'\left( \sqrt{3};0;x \right) \\  {C}'\left( 0;\sqrt{3};x \right) \\ \end{align} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB'}  = \left( {\sqrt 3 ;0;x} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_1} = \left[ {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AC} } \right] =\left( { - x\sqrt 3 ;0;3} \right)\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BB'}  = \left( {0;0;x} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_2} = \left[ {\overrightarrow {BB'} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - x\sqrt 3 ; - x\sqrt 3 ;0} \right)\).

Do đó \(\cos \widehat {\left( {AB'C} \right);\left( {BCC'B'} \right)} = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {3{x^2} + 9} .\sqrt {6{x^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt 3 .\)

Diện tích \(\Delta \,ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{{V}_{A{B}'C{A}'{C}'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{2}{3}A{A}'.{{S}_{\Delta \,ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.\)

Chọn B