Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bở...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và so sánh với 0 hoặc xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) và so sánh với 1.

Giải chi tiết:

Đáp án A: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = {\left( {\dfrac{{n + 1}}{n}} \right)^2} > 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \) Dãy số tăng.

Đáp án B: Xét hiệu

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{3\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 2}} - \dfrac{{3n - 1}}{{n + 1}} = \dfrac{{\left( {3n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {3n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{n^2} + 5n + 2 - 3{n^2} - 5n + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{4}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \) Dãy số tăng.

Đáp án C: Xét hiệu 

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right) + 5}}{{3\left( {n + 1} \right) + 1}} - \dfrac{{n + 5}}{{3n + 1}} = \dfrac{{n + 6}}{{3n + 4}} - \dfrac{{n + 5}}{{3n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\left( {3n + 1} \right) - \left( {n + 5} \right)\left( {3n + 4} \right)}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{n^2} + 19n + 6 - 3{n^2} - 19n - 20}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 14}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n} \Rightarrow \) Dãy số giảm.

Đáp án D: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\sqrt {n + 3} }}{{\sqrt {n + 2} }} = \sqrt {\dfrac{{n + 3}}{{n + 2}}}  > 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \) Dãy số tăng.

Chọn C.