Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định thiết diện nhờ các yếu tố song song.

+) Chứng minh thiết diện là tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

+) Tính diện tích thiết diện.

Giải chi tiết:

Gọi \(O=AC\cap BD\) , trong (SAC) gọi \(E=SO\cap AM\). Qua A kẻ GH // BD \(\left( G\in SB;H\in SD \right)\) , khi đó \(\left( \alpha  \right)\equiv \left( AGMH \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right),\,\,\\
GH//BD \Rightarrow GH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow GH \bot AM
\end{array}\)

Xét tam giác SAC có E là trọng tâm \(\Rightarrow \frac{SE}{SO}=\frac{2}{3}=\frac{SG}{SB}=\frac{GH}{BD}\Rightarrow GH=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}.2a\sqrt{2}=\frac{4a\sqrt{2}}{3}\)

Xét tam giác SAC có \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=4a\)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}SC=2a\)

Vậy \({{S}_{AGMH}}=\frac{1}{2}AM.GH=\frac{1}{2}.2a.\frac{4a\sqrt{2}}{3}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}\)

Chọn B.