Cho x, y là số thực dương thỏa mãn \(\ln x+\ln y\g...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi bất đẳng thức đã cho, cô lập x và đưa biểu thức \(P\ge f\left( x \right)\) trên một khoảng xác định.

+) Tìm GTNN của hàm số f(x) trên khoảng xác định đó.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}   \ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow \ln \left( xy \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y \\   \Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\left( 1-x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le y\left( x-1 \right) \\ \end{align}\)

Do \(y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}\ge 0,\,\,y>0\,\Rightarrow x-1>0\Rightarrow y\ge \frac{{{x}^{2}}}{x-1}\)

\(\Rightarrow P=x+y\ge x+\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\,\,\left( x>1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\) trên \(\left( 1;+\infty  \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right)=1+\frac{2x\left( x-1 \right)-{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x+1+{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}-4x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\in \left( 1;+\infty  \right)\)

Có \(f\left( \frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)=3+2\sqrt{2}\Rightarrow \underset{\left( 1;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=3+2\sqrt{2}\Rightarrow P\ge 3+2\sqrt{2}\)  

Chọn A.