Cho biểu thức \(A=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{3}}}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn các phân thức.

+) Sử dụng điều kiện của đề bài và áp dụng các bất đẳng thức để tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết:

a)                  \(A=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{2}}}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{1}{1-\sqrt{a}}\)

\(\begin{align}  =\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{3}}}-\frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{\left( 1+\sqrt{a} \right)\left( 1-\sqrt{a} \right)}=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{2}}}-\frac{2}{\left( 1+\sqrt{a} \right)\left( 1-\sqrt{a} \right)} \\  =\frac{2{{a}^{2}}+4}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}-\frac{2}{1-a}=\frac{2{{a}^{2}}+4-2\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}{\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)} \\  =\frac{2{{a}^{2}}+4-2-2a-2{{a}^{2}}}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}=\frac{-2a+2}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)} \\  =\frac{2\left( 1-a \right)}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}=\frac{2}{1+a+{{a}^{2}}} \\ \end{align}\)

b)                  Ta có \({{a}^{2}}+a+1={{a}^{2}}+2.a.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}={{\left( a+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\)

Suy ra \(A=\frac{2}{1+a+{{a}^{2}}}\le \frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a=-\frac{1}{2}\)

Vậy \({{A}_{\text{max}}}=\frac{8}{3}\) khi \(a=-\frac{1}{2}\)