Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sin x\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Phương trình trở thành: \(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 5\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \({x_0} = k2\pi  \Rightarrow P = 3 + \sin 2\left( {k2\pi } \right) = 3\).

Với \({x_0} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow P = 3 + \sin 2\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right) = 3 + \sin \left( {\pi  + k4\pi } \right) = 3\).

Vậy \(P = 3\).

Chọn A