Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

+) Biến đổi phương trình (1) sau đó thế vào phương trình (2), biến đổi phương trình (2) về dạng phương trình 1 ẩn \(x.\)

+) Sau đó thế vào tìm ẩn \(y.\) Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\y + 4 \ge 0\\{x^2} + y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \ge  - 4\\{x^2} + y \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y + 2\sqrt {{x^2} + y}  = 4x + 3\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x - 3} \right)\sqrt {y + 4}  + \left( {y - 4} \right)\sqrt {x - 1}  + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + y + 2\sqrt {{x^2} + y}  + 1 = {x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + y}  + 1} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{x^2} + y}  + 1} \right| = \left| {x + 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + y}  + 1 = x + 2\\\sqrt {{x^2} + y}  + 1 =  - x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + y}  = x + 1\\\sqrt {{x^2} + y}  =  - x - 3\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(x \ge  - 1 \Rightarrow  - x - 3 < 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + y}  =  - x - 3\,\,\left( {ktm} \right).\)

Xét \(\sqrt {{x^2} + y}  = x + 1\)  ta được:

\(\sqrt {{x^2} + y}  = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + y = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 2x + 1.\)

Thế vào phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\sqrt {2x + 1 + 4}  + \left( {2x + 1 - 4} \right)\sqrt {x - 1}  + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\sqrt {2x + 5}  + \left( {2x - 3} \right)\sqrt {x - 1}  + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\sqrt {2x + 5}  - 3\left( {x - 3} \right) + \left( {2x - 3} \right)\sqrt {x - 1}  - \left( {2x - 3} \right) + 5x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 5}  - 3} \right) + \left( {2x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right) + 5\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 5 - 9} \right)}}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1 - 1} \right)}}{{\sqrt {x - 1}  + 1}} + 5\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\sqrt {x - 1}  + 1}} + 5\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\frac{{2x - 6}}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {x - 1}  + 1}} + 5} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\frac{{2x - 6}}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + 2 + \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {x - 1}  + 1}} + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{2x - 6 + 6 + 2\sqrt {2x + 5} }}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + \frac{{2x - 3 + 3 + 3\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1}  + 1}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{2x + 2\sqrt {2x + 5} }}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + \frac{{2x + 3\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1}  + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2 = 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{2x + 2\sqrt {2x + 5} }}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} + \frac{{2x + 3\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} > 0\,\,\forall x \ge 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = 2\,\\ \Rightarrow y = 2x + 1 = 2.2 + 1 = 5\,\end{array}\)

Thay \(x = 2;\,\,y = 5\) vào hệ điều kiện \(\left( * \right)\) ta thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,5} \right).\) 

Chọn C.