Cho đường thẳng  xy , A và B không nằm trên xy và...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp có thể xảy ra.

Giải chi tiết:

a) Trường hợp AB//xy

Dựng đường tròn (O) đi qua A và B và tiếp xúc với xy tại M. Nếu lấy 1 điểm M’ bất kì (M khác M’) trên xy. Nối M’ với A, B (N là giao điểm của (O) và AM’) ta luôn có \(\angle AM'B < \angle ANB\)  mà \(\angle ANB = \angle AMB\) \( \Rightarrow \angle ANB = \angle AMB\).

Dấu “=” xảy ra khi M ≡ N. Khi đó M ≡ M’.

Vậy M nằm trên đường trung trực của AB giao với xy.

b) Trường hợp AB vuông góc với xy.

Khi đó ta dựng được hai đường tròn (O) và ( O’ ) đi qua A , B tiếp xúc với xy tại M và M’.

Do DAOO’ cân nên \(\angle AOO' = \angle AO'O\) \( \Rightarrow \angle AMB = \angle AM'B\).

Cả hai điểm M và M’ dều thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy bài toán có hai nghiệm hình.

c) Trường hợp bất kì

Trước hết ta hãy giải bài toán: Cho đường thẳng xy, hai điểm A và B không nằm trên xy và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ; AB không song song và cũng không vuông góc với xy .

Dựng đường tròn qua A, B và tiếp xúc với xy.

Giả sử ta đã dựng đựơc đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với xy tại M, vì A, B không song song với xy nên AB cắt xy tại một điểm y.

Ta có : \(\Delta IMB \sim \Delta IAM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow IM.IB = IA.IM\) \( \Rightarrow I{M^2} = IA.IB\,\,\,\left( 1 \right)\).

Vẽ đường tròn (O’) qua A và B (tâm O’ nằm trên trung trực của AB). Kẻ tiếp tuyến IT với (O’) theo chứng minh trên ta có: \(I{T^2} = IA.IB\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

So sánh (1) và (2) ta được: \(I{M_1} = IT\).

Từ đó ta suy ra cách dựng sau : Vẽ một đưòng tròn phụ (O’) bất kì , từ I vẽ tiếp tuyến IT với (O’), trên xy đặt về hai phía của điểm I các đoạn \(I{M_1} = I{M_2} = IT\).

Đường vuông góc kẻ từ \({M_1}\) và \({M_2}\) cắt đường trung trực của AB tại \({O_1},\,\,{O_2}\); đó là tâm của hai đường tròn \(\left( {{O_1};\,\,{O_1}{M_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2};\,\,{O_2}{M_2}} \right)\) đi qua A, B và tiếp xúc với xy tại \({M_1}\), \({M_2}\).

Trở lại bài toán đầu ,tương tự trường hợp a)

+ Nếu M’ nằm trên tia \(I{M_1}\) mà \(M' \ne {M_1}\) thì  \(\angle AM'B < \angle A{M_1}B\).

+ Nếu M’ nằm trên tia \(I{M_2}\) mà \(M' \ne {M_2}\) thì \(\angle AMB' = \angle A{M_2}B\). Do đó ta cần so sánh \(\angle A{M_1}B\) và \(\angle A{M_2}B\).

Giả sử \(\left( {{O_1}} \right)\) có bán kính nhỏ hơn \(\left( {{O_2}} \right)\). Xét \(\Delta A{O_1}{O_2}\) ta có: \(A{O_1} < A{O_2}\) \( \Rightarrow \angle A{O_2}{O_1} < \angle A{O_1}{O_2}\) \( \Rightarrow \angle A{M_2}B < \angle A{M_1}B\).

Vậy điểm phải tìm tiếp điểm của đường thẳng xy với đường tròn có bán kính nhỏ hơn trong hai đường tròn qua A, B và tiếp xúc với xy.