Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho số \({2^8...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cô lập \({2^n}\) sau đó phân tích \({2^n}\) dưới dạng tích các thừa số.

Giải chi tiết:

Giả sử \({2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,\left( {a \in \mathbb{N}} \right)\) thì

            \({2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right) \Rightarrow {2^p}{.2^q} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right)\)

            với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}\) ; \(p + q = n\) và \(p > q\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3\)

\( \Rightarrow q = 5\) và \(p - q = 2 \Rightarrow p = 7 \Rightarrow n=p + q = 7 + 5 = 12\).

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.