Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) có...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa bài toán về dạng phân thức \(P\left( x \right) = C + \frac{A}{{MT}}\) với \(A\) là hằng số.

Khi đó để \(P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{A}{{MT}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow A\,\, \vdots \,\,MT\) hay MT  là ước của \(A.\) Tìm ước của \(A\) để giải quyết bài toán.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1;\,\,x \ne  \pm 3.\)

Ta có: \(P = \frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{x + 3 - 2}}{{x + 3}} = 1 - \frac{2}{{x + 3}}\)

Để biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{2}{{x + 3}}} \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 3}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2\,\, \vdots \,\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right) \in U\left( 2 \right).\)

Mà \(U\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\} \Rightarrow \left( {x + 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2} \right\}.\)

Khi đó ta có bảng:

Vậy với \(x \in \left\{ { - 2; - 4; - 5} \right\}\) thì biểu thức \(P\) có giá trị nguyên.

Chọn B.