Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt z = a + bi và giải phương trình tìm a, b

Giải chi tiết:

Điều kiện z ≠ - 2

Đặt z = a + bi (a, b ∈ ℝ). Ta có

\(\begin{array}{l}\left| {z + 3i} \right| = \sqrt {13}  \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \sqrt {13}  \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = 13 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 6b - 4 = 0\left( 1 \right)\\\dfrac{z}{{z + 2}} = \dfrac{{a + bi}}{{a + 2 + bi}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {a + 2 - bi} \right)}}{{\left( {a + 2 + bi} \right)\left( {a + 2 - bi} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + 2a + {b^2} + 2bi}}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}}}\end{array}\)

\(\dfrac{z}{{z + 2}}\) thuần ảo \( \Leftrightarrow {a^2} + 2a + {b^2} = 0\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: 2a – 6b = - 4 => a = 3b – 2. Thay vào (1) ta được:

\({\left( {3b - 2} \right)^2} + {b^2} + 6b - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\)

Với b = 0 ta có: a = -2 nên z = -2 (loại)

Với \(b = \dfrac{3}{5} \Rightarrow a = \dfrac{{ - 1}}{5} \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1}}{5} + \dfrac{3}{5}i\)

Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.