Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.

Giải chi tiết:

Tính \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right)}}\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\Rightarrow dt=\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \right)dx=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}dx=\frac{tdx}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=\frac{2dt}{t}\)

Suy ra \(I=\int\limits_{1+\sqrt{2}}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\frac{2dt}{{{t}^{2}}}}=\left. -\frac{2}{t} \right|_{1+\sqrt{2}}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-2\left( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}+1} \right)=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\)

Do đó \(a=32;b=12;c=2\Rightarrow a+b+c=46\).

Chọn D.