Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Py-ta-go tính độ dài SH.

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go tính AB và suy ra khoảng cách cần tính.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MA \bot AD\\MA \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow MA \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAD} \right)} \right) = MA\end{array}\)

Ta có: \(\widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;HC} \right)} = \widehat {SCH} = {30^0}\) (Vì \(\widehat {SCH} < {90^0}\))

Xét tam giác vuông SAD có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD = \dfrac{3}{4}AD.AD = \dfrac{3}{4}A{D^2} = 12{a^2} \Rightarrow AD = 4a\\ \Rightarrow AH = \dfrac{3}{4}AD = 3a,HD = \dfrac{1}{4}AD = a\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAH có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {12{a^2} - 9{a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại H

\( \Rightarrow HC = SH.\cot 30 = a\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3a\)

Xét tam giác vuông CDH có: \(CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

Suy ra \(MA = \dfrac{1}{2}CD = a\sqrt 2 \)

Chọn B.