Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích khối cầu bán kính r là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\).

Giải chi tiết:

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của 2 tam giác ABC và A’B’C’; I là trung điểm của OO’.

\( \Rightarrow IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

\(\Delta ABC\) đều cạnh a \( \Rightarrow OA = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

I là trung điểm của OO’ \( \Rightarrow OI = \dfrac{{OO'}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{3}}}{2} = \dfrac{a}{3}\)

\(\Delta AOI\) vuông tại O \( \Rightarrow AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{9}}  = \dfrac{2}{3}a \Rightarrow \)Bán kính khối cầu là: \(r = \dfrac{2}{3}a\)

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{2}{3}a} \right)^3} = \dfrac{{32\pi {a^3}}}{{81}}\).

Chọn: B