Tìm số thực \(m > 1\) thỏa mãn \(\int\limits_1^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^m {x\left( {2\ln x + 1} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^m {\left( {2\ln x + 1} \right)d\left( {{x^2}} \right)}  = \left. {\dfrac{1}{2}\left( {2\ln x + 1} \right){x^2}} \right|_1^m - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^m {{x^2}d\left( {2\ln x + 1} \right)} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\left( {2\ln m + 1} \right){m^2} - 1} \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^m {{x^2}.\dfrac{2}{x}dx}  = \dfrac{1}{2}\left( {2{m^2}\ln m + {m^2} - 1} \right) - \int\limits_1^m {xdx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{m^2}\ln m + {m^2} - 1} \right) - \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}} \right|_1^m = \dfrac{1}{2}\left( {2{m^2}\ln m + {m^2} - 1} \right) - \dfrac{{{m^2}}}{2} + \dfrac{1}{2} = {m^2}\ln m\end{array}\)

Mà \(\int\limits_1^m {x\left( {2\ln x + 1} \right)dx}  = 2{m^2} \Rightarrow {m^2}\ln m = 2{m^2} \Leftrightarrow {m^2}\left( {\ln m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,(L)\\\ln m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = {e^2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Chọn: D