Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Thay \(x = 3\) vào A. Phân tích tử thức thành nhân tử và rút gọn.

2) Rút gọn B để được điều phải chứng minh.

3) Biến đổi \(\frac{A}{B}\)  và dùng bất đẳng thức Cô-si để so sánh với 4.

Giải chi tiết:

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 9\)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\)

Khi \(x = 3\) thì \(A = \frac{{3 - 2\sqrt 3  + 9}}{{\sqrt 3  - 3}} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3  - 3} \right)}}{{\sqrt 3  - 3}} =  - 5 - \sqrt 3 \)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2} + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) - \left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 6\sqrt x  + 9 + x - 3\sqrt x  - x - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)

3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4.

\(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 3}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \sqrt x  - 2 + \frac{9}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{9}{{\sqrt x }}\) ta có: \(\sqrt x  + \frac{9}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{9}{{\sqrt x }}}  = 2.3 = 6.\)

\( \Rightarrow \frac{A}{B} = \left( {\sqrt x  + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right) - 2 \ge 6 - 2 = 4.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{9}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(\frac{A}{B} \ge 4\).

Chọn A.