Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành kh...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\) khi quay quanh trục Ox là:

      \(V = \;\pi \int_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Thể tích cần tìm : \(V = {V_1} - {V_2} - {V_3}\)

Trong đó:

+)  \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay hình chữ nhật ACDO quanh trục hoành, chính là thể tích khối trụ có chiều cao OD = 3, bán kính đáy OA = 4.  Khi đó, \({V_1} = \pi {.3.4^2} = 48\pi \).

+) \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay tam giác ABF quanh trục hoành, ta có \(B(2;4)\).

\({V_2} = \pi {.4^2}.2 - \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^2}dx}  = 32\pi  - {{56} \over 3}\pi  = {{40} \over 3}\pi \)

+) \({V_3}\) là thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay parabol “ECD” quanh trục hoành

\(\begin{array}{l}{V_3} = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( { - {x^2} + 6x - 5} \right)}^2}dx} \\\,\,\,\,\, = \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^4} + 36{x^2} + 25 - 12{x^3} + 10{x^2} - 60x} \right)dx} \\\,\,\,\,\, = \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^4} + 46{x^2} + 25 - 12{x^3} - 60x} \right)dx} \\\,\,\,\,\, = \pi \left. {\left( {\dfrac{1}{5}{x^5} + \dfrac{{46}}{3}{x^3} + 25x - 3{x^4} - 30{x^2}} \right)} \right|_1^3\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{123}}{5} - \dfrac{{113}}{{15}}} \right)\pi  = \dfrac{{256}}{{15}}\pi \\ \Rightarrow V = {V_1} - {V_2} - {V_3} = \dfrac{{88\pi }}{5}\end{array}\).

Chọn: B