Cho phương trình \(4{x^2} - 2\left( {m + 1} \right...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0\)

b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\Delta ' \ge 0\), sau đó áp dụng hệ thức Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} =  - 3{m^2} + 2m + 1\)

Để phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.

Để phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} \le x \le 1\).

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m + 1}}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2}}}{4}\end{array} \right.\)

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là :

\(S = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - \frac{{2{m^2}}}{4} = \frac{{ - {m^2} + 2m + 1}}{4}\)

Trong trường hợp phương trình có nghiệm kép thì \(m = 1\) hoặc \(m =  - \frac{1}{3}\), khi đó ta có \(S = \frac{1}{2}\) hoặc \(S = \frac{1}{{18}}\).