Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Kẻ các đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tam giác đồng dạng để tính các cạnh \(AM,AN\) theo các cạnh khác, từ đó chứng minh chúng bằng nhau

Giải chi tiết:

Xét tứ giác \(ABNE\) có: \(\angle ANB=\angle AEB={{90}^{o}}\). Suy ra hai điểm \(N,E\) cùng nhìn cạnh \(AB\) với hai góc bằng nhau. Suy ra \(ABNE\) nội tiếp đường tròn.

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABNE\) có \(\angle ANE,\angle ABE\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\). Suy ra  \(\angle ANE=\angle ABE\)

Mà có \(\angle ABE=\angle ACF\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\) )

\(\Rightarrow \angle ANE=\angle ACF\)

Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ACN\) có

+) \(\angle NAC\) chung

+) \(\angle ANE=\angle ACF\) ( chứng minh trên )

\(\Rightarrow \Delta ANE\sim \Delta ACN\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{AE}{AN}\Rightarrow A{{N}^{2}}=AE.AC\).                              (1)

Chứng minh tương tự có: \(A{{M}^{2}}=FA.AB\).                                                (2)

Xét \(\Delta CFA\) và \(\Delta BEA\) có:

+) \(\angle BAC\) chung

+) \(\angle AEB=\angle CFA={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta CFA\sim \Delta BEA\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{FA}{EA}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow FA.AB=EA.AC\)                              (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow A{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}\Rightarrow AN=AM\) (đpcm).