Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lý Vi-et để biến biểu thức A thành chứa toàn m.

Giải chi tiết:

Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0\). Tìm tất cả các giá trị của m nguyên dương để \(A = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}\) có giá trị nguyên.

Ta có : \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 6 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 7 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 3 > 0\;\;\forall x\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}A = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\;\;\\ = \frac{{{{\left[ {4{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 2\left( {2m - 6} \right)} \right]}^2} - 2{{\left( {2m - 6} \right)}^2}}}{{{{\left( {2m - 6} \right)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\left( {m \ne 3} \right)\\ = \frac{{{{\left( {4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 12} \right)}^2}}}{{{{\left( {2m - 6} \right)}^2}}} - 2\\ = {\left( {\frac{{4{m^2} - 12m + 16}}{{2m - 6}}} \right)^2} - 2 = {\left( {\frac{{2{m^2} - 6m + 8}}{{m - 3}}} \right)^2} - 2\\ \Rightarrow A \in Z \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\frac{{2{m^2} - 6m + 8}}{{m - 3}}} \right)}^2} - 2} \right] \in Z\\ \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - 6m + 8}}{{m - 3}} \in Z\\ \Rightarrow \left( {2{m^2} - 6m + 8} \right)\; \vdots \;\left( {m - 3} \right)\end{array}\)

Ta có : \(2{m^2} - 6m + 8 = 2m\left( {m - 3} \right) + 8\) 

Ta thấy : \(2m\left( {m - 3} \right)\; \vdots \;\left( {m - 3} \right)\;\;\forall m \ne 3\)

\( \Rightarrow \left( {2{m^2} - 6m + 8} \right)\; \vdots \;\left( {m - 3} \right) \Leftrightarrow 8\; \vdots \;\left( {m - 3} \right)\) hay \(\left( {m - 3} \right) \in U\left( 8 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\; \pm 2;\; \pm 4;\; \pm 8} \right\}\)

Ta có bảng giá trị :

Kết hợp với điều kiện \(m \ne 3\) ta có các giá trị thỏa mãn bài toán là : \(m \in \left\{ { - 5; - 1;\;1;\;2;\;4;\;5;\;7;\;11} \right\}.\)

Chọn B.