1)     Tìm tất cả cặp số nguyên x, y thỏa mãn: \({...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)     Coi y lả ẩn, x là tham số để đưa về phương trình bậc 2 giải delta là bình phương của 1 số.

2)     Chú ý phân tích 225 thành các số nguyên tố.

Giải chi tiết:

1)     Tìm tất cả cặp số nguyên x, y thỏa mãn: \({{y}^{2}}+2xy-3x-2=0\ \ \left( * \right)\)

Coi phương trình đã hco là phương trình bậc hai ẩn \(y\) có tham số \(x.\)

Ta có: \(\Delta =4{{x}^{2}}+12x+8.\)

Vì \(x,\ y\in Z\Rightarrow \Delta \) phải là số chính phương.

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4{x^2} + 12x + 8 = {k^2} \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 9 - {k^2} = 1\\
\Leftrightarrow {(2x + 3)^2} - {k^2} = 1\\
\Leftrightarrow (2x + 3 - k)(2x + 3 + k) = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 - k = 1\\
2x + 3 + k = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 - k = - 1\\
2x + 3 + k = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\
k = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\
k = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

Với \(x=-1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1=0\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=1\ \ \ \left( tm \right).\)

Với \(x=-2\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y+4=0\Leftrightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=2\ \ \left( tm \right).\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(\left( x;\ y \right)=\left\{ \left( -1;\ 1 \right);\ \ \left( -2;\ 2 \right) \right\}.\)

2)     Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn: \(4{{(m+n)}^{2}}-mn\) chia hết 225. CMR: mn cũng chia hết cho 225.

Đặt: \(A=4{{(m+n)}^{2}}-mn.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4A = 16{(m + n)^2} - 4mn = 16{(m + n)^2} - \left[ {{{\left( {m + n} \right)}^2} - {{\left( {m - n} \right)}^2}} \right]\\
{\rm{ = 15}}{\left( {m + n} \right)^2} + {(m - n)^2}\\
A\; \vdots \;225 = {15^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - n} \right)\;\; \vdots \;\;3\\
\left( {m - n} \right)\;\; \vdots \;\;5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(m - n)^2}\; \vdots \;9\\
{(m - n)^2}\; \vdots \;25
\end{array} \right. \Rightarrow {(m - n)^2}\; \vdots \;225\\
\Rightarrow {(m + n)^2}\; \vdots \;15 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + n} \right)\;\; \vdots \;\;3\\
\left( {m + n} \right)\;\; \vdots \;\;5
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - n} \right)\;\; \vdots \;\;15\\
\left( {m + n} \right)\;\; \vdots \;\;15
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\;\; \vdots \;\;15\\
n\;\; \vdots \;\;15
\end{array} \right. \Rightarrow mn\;\; \vdots \;\;225.
\end{array}\)

Vậy \(4{{\left( m+n \right)}^{2}}-mn\) chia hết cho \(225\) thì \(mn\) cũng chia hết cho \(225.\)

Chọn B