Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, sử dụng hệ thức Vi – ét.

Giải chi tiết:

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số)

Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)

Ta có \(\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Khi đó :

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\\B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} + 2}}\\B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}\\B = \frac{{2\left( {m - 1} \right) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\\ \Rightarrow 2B + 1 = 2.\frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} + 1 = \frac{{4m + 2 + {m^2} + 2}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{m^2} + 4m + 4}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}}\end{array}\)

Ta có \({\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0;\,\,{m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2B + 1 \ge 0 \Leftrightarrow B \ge  - \frac{1}{2}\)

Vậy \({B_{\min }} =  - \frac{1}{2}\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m =  - 2\).

Chọn A.