Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. Các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM.

Xét đường tròn (O) có \(\widehat {BAK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAK}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \( \Rightarrow BK\) là đường kính của đường tròn (O).

Ta có \(\widehat {BMK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)\( \Rightarrow \widehat {BMK} = {90^0}\;\;hay\;\;KM \bot BC.\)

\( \Rightarrow EM\) là đường cao của \(\Delta EBC.\)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAC}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC.

Ta có: \(\widehat {BLC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow \widehat {BLC} = {90^0}\;\;hay\;\;BL \bot LC \Rightarrow BL \bot EC.\)

\( \Rightarrow BL\) là đường cao của \(\Delta EBC.\)

Xét  \(\Delta EBC\) ta có: \(EM\) và \(BL\) là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại \(K.\;\)

\( \Rightarrow K\) là trực tâm \(\Delta EBC\) \( \Rightarrow KC \bot BE.\)

Mà \(KC \bot BA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow B;A;E\) thẳng hàng \( \Rightarrow \widehat {EAC} = {90^0}.\)

Xét tứ giác \(AECM\) ta có: \(\widehat {EAC} = \widehat {EMC} = {90^0}.\)

Mà hai góc này cùng nhìn đoạn \(EC.\)

\( \Rightarrow AECM\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Hay \(E\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACM.\)  (đpcm)