Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định (d và...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tính chất của các góc trong đường tròn, chứng minh các cặp tam giác đồng dạng từ đó suy ra các tỉ lệ cần chứng minh.

Giải chi tiết:

a) \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\) và \(IA = IB\) 

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle CAB = \angle CDB\) (hai góc nội tiếp chắn cung BC)   (1)

Ta có: \(ND//AB \Rightarrow sd\;cung\;AN = sd\;cung\;BD.\;\;\)

Mà \(\angle ACN\) là góc nội tiếp chắn cung \(AN\)

\(\angle DCB\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD.\)

\( \Rightarrow \angle ACN = \angle BCD\;\;\left( { = \frac{1}{2}sd\;AN = \frac{1}{2}sd\;BD} \right).\)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Leftrightarrow \Delta ACI \sim \Delta DCB\;\;\left( {g - g} \right).\)

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CB}} = \frac{{AC}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Chứng  minh tương tự ta có \(\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)

Xét \(\Delta MBC\) và \(\Delta MDB\) ta có:

\(\angle DMB\;\;chung\)

\(\angle MBC = \angle MDB\)  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

\( \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta MDB\;\;\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{DB}}\)  (các cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{AC}}{{AD}}.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{MA}}{{MD}}\left( { = \frac{{AC}}{{AD}}} \right)\\\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{MB}}{{MD}}\;\left( { = \frac{{BC}}{{BD}}} \right)\end{array} \right.\)

Mà \(MA = MB\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow IA = IB\;\;\left( {dpcm} \right).\) 

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.

Kẻ  \(OH \bot d = \left\{ H \right\}.\)  Gọi \(\left\{ K \right\} = OH \bot AB.\)

Vì \(IA = IB\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M,\;I,\;O\) thẳng hàng và \(MO \bot AB = \left\{ O \right\}.\)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OHM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle IOK\;\;chung\\\angle OIK = \angle OHM = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OHM\;\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OM}} \Rightarrow OI.OM = OH.OK.\end{array}\)

Lại có: \(O{B^2} = OI.OM\) (hệ thức lượng trong \(\Delta OBM\) vuông tại \(B\) và có đường cao \(BI\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{B^2} = OH.OK\;\;\left( { = OI.OM} \right)\\ \Rightarrow OK = \frac{{O{B^2}}}{{OH}}.\end{array}\)

Mà \(OB = {R^2},\;\;OH = d\left( {O;\;d} \right)\) không đổi \( \Rightarrow OK\) không đổi hay \(K\) cố định.

Vì \(OI \bot IB,\;\;O,\;K\)  cố định nên ta có I thuộc đường tròn đường kính \(OK\)  cố định.  (đpcm)