Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với đường thẳng \(d:2x - 4y + 1 = 0\).

Tìm giao của \(\Delta \) và \(\left( C \right)\) là P, Q.

Lập luận để phương trình tiếp tuyến cần tìm là phương trình tiếp tuyến đi qua 2 điểm P, Q vừa tìm được.

Giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 2y - 10 = 0\) có tâm \(I\left( { - 3;1} \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với đường thẳng \(d:2x - 4y + 1 = 0\)

Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 4} \right)\) là VTPT

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;2} \right)\) là một VTPT của \(\Delta \)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta \):

 \(4\left( {x + 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5 = 0\)

+) Gọi P, Q là giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\Delta  \Rightarrow \)  tọa độ P, Q là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 6x - 2y - 10 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( { - 2x - 5} \right)^2} + 6x - 2\left( { - 2x - 5} \right) - 10 = 0\\y =  - 2x - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 30x + 25 = 0\\y =  - 2x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y =  - 3\\x =  - 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( { - 1; - 3} \right)\\Q\left( { - 5;5} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \({d_1},{d_2}\) là 2 tiếp tuyến cần tìm.

Vì \({d_1}//{d_2}//d\,\,;\,\,\Delta  \bot d;\,\,d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = R = IP = IQ\) ;  

\( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) vuông góc với \(\Delta \) tại \(P,\,\,Q \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 4} \right)\) là một VTPT của \({d_1},{d_2}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \({d_1}\): \(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \({d_2}\): \(2\left( {x + 5} \right) - 4\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 15 = 0\)

Chọn C.