Cho hàm số \(y = f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) =  - {x^2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm hàm \(f\left( x \right)\) bằng công thức nguyên hàm cơ bản: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} .\)

Xét hàm số để giải bất phương trình: Ta có: \(f\left( x \right) < m\;\;\forall x \in \left( {0;\;1} \right) \Leftrightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\;1} \right]} f\left( x \right) < m.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - {x^2} - 2,\,\forall \,x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx =  - \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + C} \)

Xét hàm số: \(f\left( x \right) =  - \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + C\;\) trên \(\left( {0;\;1} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) =  - {x^2} - 2 < 0,\,\forall \,x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\;1} \right) \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)

Vậy \(m > f\left( 1 \right)\).

Chọn D.