Cho các số thực a, b thỏa mãn \(0 < a...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi logarit để rút gọn biểu thức P.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}} = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\dfrac{{{{\log }_a}ab}}{{{{\log }_a}\dfrac{a}{b}}}}}\\ = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\dfrac{{1 + {{\log }_a}b}}{{1 - {{\log }_a}b}}}} = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{{{\log }_a}b + 1}}\end{array}\)

Do \(0 < a < 1 < b\) nên  \(1 + {\log _a}b < 0\). Áp dụng BĐT Cô si ta có: \( - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + \dfrac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}} \ge 2\sqrt {\left[ { - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right)} \right].\dfrac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}}  = 4\)\( \Rightarrow P \le  - 4\)

\({P_{\max }} =  - 4\) khi và chỉ khi \(1 + {\log _a}b =  - 2 \Leftrightarrow {\log _a}b =  - 3 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{{{a^3}}}\).

Chọn: B