Ba số \(x,\,y,\,z\) lập thành một cấp số cộng và c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ba số \(x,\,y,\,z\) lập thành một cấp số cộng \( \Leftrightarrow x + z = 2y\)

Ba số \(x,\,y,\,z\) lập thành một cấp số nhân \( \Leftrightarrow xz = {y^2}\).

Giải chi tiết:

Do 3 số \(x,\,y,\,z\) lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng \(21\) nên ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 2y\\x + y + z = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + z = 14\\y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - z\\y = 7\end{array} \right.\) (1)

Nếu lần lượt thêm các số \(2;\,3;\,9\) vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có: \(\left( {x + 2} \right)\left( {z + 9} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2}\) (2)

Thay (1) vào (2) ta có: \(\left( {14 - z + 2} \right)\left( {z + 9} \right) = {\left( {7 + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {z^2} - 7z - 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 11\\z =  - 4\end{array} \right.\)

\(z = 11 \Rightarrow x = 14 - 11 = 3\)\( \Rightarrow F = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {3^2} + {7^2} + {11^2} = 179\)

\(z =  - 4 \Rightarrow x = 14 - \left( { - 4} \right) = 18\)\( \Rightarrow F = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {18^2} + {7^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 389\).

Chọn: A