Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \d...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét và đánh giá điều kiện đề bài.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0 \Leftrightarrow ayz + bxz + cxy = 0\\\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\dfrac{{xy}}{{ab}} + \dfrac{{yz}}{{bc}} + \dfrac{{xz}}{{ac}}} \right) = 1\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1 - 2\left( {\dfrac{{xy}}{{ab}} + \dfrac{{yz}}{{bc}} + \dfrac{{xz}}{{ac}}} \right) = 1 - 2.\dfrac{{ayz + bxz + cxy}}{{abc}} = 1\)

Vậy với \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)và \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0\)thì \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\).