Cho đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) thỏa mãn:...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép chia đa thức và giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

\(P\left( x \right)\) chia cho \({x^2} + 2\) dư \(2x - 1\) suy ra \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x - 1,\) với \(Q\left( x \right)\) là đa thức bậc nhất, tức là \(P\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x - 1.\) Đặt \(P\left( x \right)\) chia \({x^2} + x\) dư \(16x - 11,\) suy ra \(P\left( x \right) - 16x + 11\) chia hết cho \({x^2} + x\). Đặt \(R\left( x \right) = P\left( x \right) - 16x + 11.\)

Khi đó \(R\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) - 14x + 10\) và \(R\left( x \right)\) chia hết cho \({x^2} + x.\) Vì thế, hai nghiệm \(x = 0,\,\,x =  - 1\) của \({x^2} + x\) của là nghiệm \(R\left( x \right)\), tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a.0 + b} \right)\left( {0 + 2} \right) - 14.0 + 10 = 0\\\left( { - a + b} \right)\left( {1 + 2} \right) - 14.\left( { - 1} \right) + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 5\end{array} \right.\).

Suy ra \(P\left( x \right) = \left( {3x - 5} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x - 1.\) Vậy \(P\left( {100} \right) = 2905789.\)

Chọn B.