Cho đường tròn (O)  và dây AB. Điểm M di chuyển tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh góc \(\angle xME = \angle MEF\), từ đó suy ra Mx // EF với Mx là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.

Chứng minh E, F lần lượt là trung điểm của MD, MC, sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung. Từ đó suy ra EF là đường trung bình của tam giác MCD.

Từ đó chứng minh \(OM \bot CD\).

b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua AB. Chứng minh MH = OK.

Chứng minh MHKO là hình bình hành, từ đó chứng minh \(HK \bot CD\).

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\angle {M_1} = \angle MAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM) (1)

Xét tứ giác ABEF có: \(\angle AEB = \angle AFB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow ABEF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB.

\( \Rightarrow \angle MEF = \angle MAB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle MEF = \angle {M_1}\). Mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau nên Mx // EF.

Lại có \(OM \bot Mx\) (do Mx là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M) \( \Rightarrow OM \bot EF\).

Ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp MCD (gt), mà HE vuông MD (do \(AH \bot BM\)) nên E là trung điểm MD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung). Chứng minh tương tự ta có F là trung điểm của MC.

Suy ra EF là đường trung bình của MCD, do đó EF // CD.

Mà \(OM \bot EF\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow OM \bot CD\).

Vậy đường thẳng đi qua M vuông góc với CD luôn đi qua điểm O cố định.

b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua AB.

Ta có \(OK \bot AB\), mà \(MH \bot AB\) (do H là trực tâm tam giác MAB) nên OK // MH.

Gọi N là điểm đối xứng với M qua O, khi đó ON = OM nên N thuộc đường tròn (O). Gọi \(I = OK \cap AB\).

Ta có: \(\angle MBN = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BM \bot BN\).

Mà \(AH \bot BM \Rightarrow AH\parallel BN\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(BH\parallel AN\). Do đó AHBN là hình bình hành (dhnb).

Lại có I là trung điểm của AB (do \(OK \bot AB\) tại I) nên I cũng là trung điểm của HN).

\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của tam giác MHN.

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}MH \Rightarrow MH = 2OI = OK\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác MHOK là hình bình hành. Suy ra HK // OM, mà \(OM \bot CD\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow HK \bot CD\).

Vì O và AB cố định nên K là điểm cố định.

Vậy nên đường thẳng kẻ từ H vuông CD đi qua điểm K cố định.